Inhalt

Bruchrechnung

Bruchrechnung

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in den rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\).

Erweitern und Kürzen

Wird die folgende Gleichung von links nach rechts gelesen wird der Bruch erweitert, von rechts nach links gekürzt.

\[ \frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b \cdot c} \]
Beispiele

Gemeinsammer Teiler (4) von Nenner und Zähler wird gekürzt.

\[ \frac{12}{20} = \frac{3\cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5} \]

Nenner und Zähler des Bruchs wird durch den gleichen Faktor (2) erweitert

\[ \frac{4}{7} = \frac{4\cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14} \]

Kehrwert

Mit \(a\neq0\) ist der Kehrwert von \(\frac{a}{b}\) der Bruch \(\frac{b}{a}\). Es gilt

\[ \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \]
Beispiel

Der Kehrwert von \(\frac{3}{7}\) ist \(\frac{7}{3}\), der Zähler und der Nennen tauschen die Rollen.

Multiplikation

Das Produkt von zwei Brüchen wird gebildet, indem jeweils die Nenner und die Zähler multipliziert werden.

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \]
Beispiele
\[ \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{8}{15} \]
\[ \frac{6}{7}\cdot\frac{14}{3} = \frac{6\cdot 14}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot3\cdot2\cdot7}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot2}{1} = 4 \]

In der letzen Gleichung wurde das Produkt durch kürzen vereinfacht. Dieses kann auch kompakt notiert werden:

\[ \frac{\,^{\displaystyle 2}\bcancel{6}}{\,_{\displaystyle 1\,}\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{14}^{\displaystyle 2}}{\bcancel{3}_{\displaystyle \,1}} =4 \]

Division

Die Division durch einen Bruch ist identisch mit der Multiplikation mit dem Kehrwert des Bruches.

\[ \frac{\frac{c}{d}}{\frac{a}{b}} = \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{a} \]
Beispiele
\[ \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2} = \frac{4\cdot3}{5\cdot2} = \frac{2\cdot3}{5} = \frac{6}{5} \]

Es gilt \(c=\frac{c}{1}\) und damit

\[ \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}} = \frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c} = \frac{a}{b\cdot c} \]

Addition und Subtraktion

Brüche werden addiert / subtrahiert, indem sie zuerst gleichnamig gemacht und dann die Zähler addiert werden. In der folgenden Gleichung ist ein Weg dargestellt der immer geht.

\[ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \pm \frac{ c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d} \]

Stattdessen kann die Gleichnamigkeit auch durch erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache (\(\operatorname{kgV}\)) erreicht werden. Auch durch kürzen der einzelnen Brüche kann Gleichnamigkeit erreicht werden.

Beispiele
\[ \frac{2}{12} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
\[ \frac{7}{15} - \frac{3}{10} = \frac{7\cdot2}{15\cdot2} - \frac{3\cdot3}{10\cdot3} = \frac{14}{30} - \frac{9}{30} = \frac{14 - 9}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]

In der letzen Gleichung wurde \(\operatorname{kgV}(15;10)=30\) genutzt und das Ergebnis zusätzlich gekürzt.

previous

Mathematik

next

<no title>